什么是椭圆曲线

什么是椭圆曲线，想必大家都会首先想到的是高中时学到的标准椭圆曲线方程。

x2a2+y2b2=1(a>b，焦点在x轴，a<b，焦点在y轴)

a

2

x

2

?

+

b

2

y

2

?

=1(a>b，焦点在x轴，a

其实本文提到的椭圆曲线，跟这个高中时代的椭圆曲线方程基本无关。椭圆曲线的椭圆一词来源于椭圆周长积分公式。(这个命名深究起来比较复杂，了解一下就可以了1)

一条椭圆曲线是在射影平面上满足威尔斯特拉斯方程（Weierstrass）所有点的集合，

Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3

Y

2

Z+a

1

?

XYZ+a

3

?

YZ

2

=X

3

+a

2

?

X

2

Z+a

4

?

XZ

2

+a

6

?

Z

3

对普通平面上点(x,y)，令x=X/Z，y=Y/Z，Z≠0，得到如下方程

y2Z3+a1xyZ3+a3yZ3=x3Z3+a2x2Z3+a4xZ3+a6Z3

y

2

Z

3

+a

1

?

xyZ

3

+a

3

?

yZ

3

=x

3

Z

3

+a

2

?

x

2

Z

3

+a

4

?

xZ

3

+a

6

?

Z

3

约掉Z3

Z

3

可以得到：

y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6

y

2

+a

1

?

xy+a

3

?

y=x

3

+a

2

?

x

2

+a

4

?

x+a

6

?

简化版的Weierstrass方程：

E:y2=x3+ax+b

E:y

2

=x

3

+ax+b

其中，

(1) Δ=?16(4a3+27b)≠0

Δ=?16(4a

3

+27b)

?

?

=0 ,用来保证曲线是光滑的，即曲线的所有点都没有两个或者两个以上的不同的切线。

(2) a,b∈K,K为E的基础域。

a,b∈K,K为E的基础域。

(3) 点 O∞

O

∞

?

是曲线的唯一的无穷远点。

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编译者/作者：嘿嘿嘿

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